Lista de exercícios de semelhança de triângulos com gabarito

Quem já passou por uma aula de semelhança de triângulos sabe: o conteúdo parece simples no quadro e vira um mistério na hora da prova. Na minha turma do 9º ano, a dúvida que mais aparecia era sempre a mesma: por que dois triângulos com ângulos iguais não são automaticamente iguais em tamanho? Foi depois de várias listas refeitas à mão que percebi que o problema não era a fórmula, e sim a falta de questões bem pensadas para treinar a diferença entre semelhança e congruência.

Nesta lista, reuni seis questões reais da base do GeraProva, cada uma com gabarito comentado, explicação do erro de cada alternativa e a indicação da habilidade da BNCC. Vale a pena conhecer a página inicial do GeraProva para ver como essas questões são organizadas, e, se você quiser montar as suas, pode fazer um cadastro grátis e testar.

O que é semelhança de triângulos?

Dois triângulos são semelhantes quando têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Isso significa que seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais, ou seja, todos são multiplicados pelo mesmo fator, chamado razão de semelhança. Na prática, se um triângulo é uma ampliação de outro, ele é semelhante ao original. Essa é a ideia central que o GeraProva cobre nas questões de semelhança, com foco na habilidade EF09MA12, que pede o reconhecimento das condições necessárias e suficientes para essa relação. Quando o aluno entende que forma e tamanho são coisas separadas, a maior parte das confusões desaparece.

Por que a diferença entre semelhança e congruência importa?

Congruência exige que os triângulos tenham forma e tamanho iguais. Semelhança exige apenas forma igual. Todo triângulo congruente é semelhante, mas nem todo semelhante é congruente. Eu costumo pedir que os alunos recortem dois triângulos, um ampliado e outro original, e sobreponham. Ver que um cabe dentro do outro, mas com proporção diferente, costuma resolver a dúvida em dois minutos.

Quais são os critérios de semelhança de triângulos?

Os critérios mais usados são AA (dois ângulos correspondentes iguais), LAL (dois lados proporcionais com o ângulo compreendido igual) e LLL (os três lados proporcionais). Um único ângulo igual não basta, e lados em centímetros aumentados em quantidades iguais também não garantem nada, pois a semelhança depende de razões, não de diferenças. Esses critérios aparecem em praticamente todas as questões desta lista, então vale fixá-los antes de partir para os exercícios.

Como montar uma lista de exercícios de semelhança de triângulos?

Na minha experiência, uma lista boa mistura três tipos de questão: as que pedem para identificar o critério, as que exigem calcular um lado desconhecido a partir da razão, e as que apresentam uma afirmação para o aluno julgar como verdadeira ou falsa. Quando eu monto a lista no GeraProva, costumo começar com uma questão de dificuldade média e depois avançar para as de análise de erro, que são as mais reveladoras.

• Comece pela identificação do critério: mostre dados e peça para o aluno dizer qual critério se aplica.
• Depois, calcule a razão: use lados correspondentes para encontrar a razão e aplicá-la a um lado desconhecido.
• Finalize com análise de erros: apresente alternativas que contêm erros típicos, como confundir semelhança com congruência.

Como os alunos erram semelhança de triângulos?

Os erros mais comuns que observo são: aceitar um único ângulo igual como prova de semelhança, comparar diferenças de medidas em vez de razões e acreditar que lados em ordem crescente bastam. Cada um deles aparece como distrator em uma das questões abaixo, justamente porque treinar o erro ajuda o aluno a reconhecê-lo na própria resolução.

Questões prontas com gabarito comentado

Questão 1: critério suficiente para semelhança entre adesivos

Na bancada de uma oficina de comunicação visual, um adesivo triangular será cortado em dois tamanhos: o molde PQR e a versão ampliada P'Q'R'. Os pontos P e Q (e P' e Q') indicam os cantos onde o adesivo deve se alinhar em um vidro, por isso a correspondência entre os vértices é fixa.

Para conferir se o desenho ampliado mantém a mesma forma do molde, foram registradas as seguintes checagens:

• Mediu-se no molde: angulo P = 48 graus e angulo Q = 67 graus; na ampliação: angulo P' = 48 graus e angulo Q' = 67 graus.
• Mediu-se no molde: PQ = 30 cm e PR = 45 cm; na ampliação: P'Q' = 40 cm e P'R' = 60 cm; além disso, angulo Q = angulo Q'.
• Mediu-se no molde: PQ = 30 cm, QR = 28 cm, PR = 45 cm; na ampliação: P'Q' = 40 cm, Q'R' = 38 cm, P'R' = 60 cm.
• Confirmou-se apenas que angulo P = angulo P'.
• Comparou-se apenas que P'Q' - PQ = 10 cm e P'R' - PR = 15 cm.

Considere as checagens descritas no texto. Identifique aquela que apresenta condição suficiente para concluir que os triângulos PQR e P'Q'R' são semelhantes.

• ❌ A) A checagem que confirma apenas um ângulo correspondente igual (48 graus). — Um único ângulo igual não é condição suficiente: muitos triângulos distintos podem ter esse mesmo ângulo.
• ❌ B) A checagem que compara três lados e encontra uma razão diferente das demais (28/38). — Se uma razão de lados correspondentes difere, não há proporcionalidade dos três lados, logo não se conclui semelhança.
• ✅ C) A checagem que iguala dois ângulos correspondentes (48 graus e 67 graus). — Dois ângulos correspondentes iguais (AA) determinam a semelhança entre triângulos, com a correspondência P<->P' e Q<->Q'.
• ❌ D) A checagem que compara diferenças de lados (10 cm e 15 cm) em vez de razões. — Erro aditivo: semelhança exige proporcionalidade (razões), não igualdade de aumentos em centímetros.
• ❌ E) A checagem que iguala dois lados proporcionais (30/40 e 45/60) e o ângulo em Q. — Erro SSA: o ângulo em Q não é o compreendido entre PQ e PR, então essa combinação não garante semelhança.

Conceito central: semelhança de triângulos. Dica de resolução: analise as condições de semelhança entre triângulos, focando em ângulos e proporções. Conceito para revisão: estude critérios de semelhança de triângulos, com ângulos iguais e lados proporcionais. Esta questão é da BNCC EF09MA12, com dificuldade difícil e nível de Bloom Aplicar.

Questão 2: critério para congruência de placas triangulares

— O encaixe das duas estruturas precisa ser idêntico para que a cobertura do palco não fique inclinada — explicou a técnica responsável pela montagem de uma feira cultural.

Cada estrutura é formada por uma placa triangular. Na primeira placa, foram medidos dois lados de 2,4 m e 3,1 m, que se encontram em um ângulo de 58 graus. Na segunda, os lados correspondentes têm essas mesmas medidas e também formam um ângulo de 58 graus. Como as placas serão cortadas em oficinas diferentes, a técnica precisa justificar geometricamente que elas terão a mesma forma e o mesmo tamanho, sem depender da medição do terceiro lado.

Identifique o critério de congruência que permite justificar que as duas placas triangulares descritas no texto-base são congruentes.

• ❌ A) O critério ALA, pois são conhecidos dois ângulos e um lado. — Erro de leitura dos dados. Há apenas um ângulo informado em cada placa, e não dois ângulos.
• ❌ B) O critério AA, pois ângulos iguais garantem o mesmo tamanho. — Erro de confundir semelhança com congruência. Dois ângulos iguais podem garantir forma semelhante, mas não o mesmo tamanho.
• ✅ C) O critério LAL, pois são conhecidos dois lados e o ângulo entre eles. — Correta. As placas têm dois lados correspondentes iguais e o ângulo compreendido entre esses lados com a mesma medida.
• ❌ D) O critério LLL, pois seriam necessárias as medidas dos três lados. — Erro de exigir dados não necessários. O critério LLL usa três lados, mas o texto fornece dois lados e o ângulo entre eles.
• ❌ E) O teorema de Pitágoras, pois todo triângulo pode ter lados calculados. — Erro de generalização. O teorema de Pitágoras se aplica exclusivamente a triângulos retângulos, condição não apresentada no texto.

Conceito central: congruência de triângulos pelo critério LAL. Dica de resolução: observe quais dois lados e qual ângulo correspondente foram informados. Conceito para revisão: revise os critérios de congruência de triângulos e identifique a posição do ângulo em relação aos lados conhecidos. Dificuldade fácil, nível de Bloom Compreender.

Questão 3: os três pares de lados são proporcionais?

Em um desenho, dois triângulos apresentam os seguintes pares de lados correspondentes: 4 cm e 10 cm; 6 cm e 15 cm; 8 cm e 20 cm.

— Esses triângulos são semelhantes?

• ❌ A) Não dá para afirmar, porque para verificar semelhança é preciso medir os ângulos e os três lados ao mesmo tempo. — O aluno aplica uma exigência mais forte do que o necessário. Para triângulos, a proporcionalidade dos lados já pode ser suficiente para concluir semelhança, sem precisar medir todos os ângulos.
• ❌ B) Não. Como os lados têm medidas diferentes, os triângulos só seriam semelhantes se tivessem todos os lados iguais. — O aluno confunde semelhança com congruência. Triângulos semelhantes não precisam ter lados iguais; precisam ter lados proporcionais e ângulos correspondentes iguais.
• ❌ C) Sim. Como 4 cm, 6 cm e 8 cm estão em uma sequência crescente, e 10 cm, 15 cm e 20 cm também, os triângulos são semelhantes. — O aluno observa apenas que os números aumentam, mas não compara as razões entre os lados correspondentes. Sequência crescente não é critério de semelhança.
• ✅ D) Sim. As três razões entre os lados correspondentes são iguais, então há proporcionalidade e os triângulos são semelhantes. — Resposta correta. O aluno compara os lados correspondentes e verifica que as razões são iguais, concluindo semelhança por proporcionalidade.
• ❌ E) Sim. Os lados correspondentes aumentam na mesma proporção, então basta que um lado seja maior para garantir que os triângulos sejam semelhantes. — O aluno generaliza a partir de uma impressão de aumento. Ter lados maiores não basta; é necessário verificar se as proporções entre todos os lados correspondentes são iguais.

Conceito central: semelhança de triângulos. Dica de resolução: compare cada par de lados correspondentes e veja se as razões coincidem. Conceito para revisão: razões entre lados correspondentes. Dificuldade média, nível de Bloom Aplicação.

Questão 4: determinar x e verificar a semelhança

Em uma oficina de maquetes, foram construídas duas estruturas triangulares. Na primeira, os lados correspondentes aos lados AB, BC e AC medem, respectivamente, 2x cm, 3x cm e 4x cm. Na segunda, os lados correspondentes aos lados DE, EF e DF medem 14 cm, 21 cm e 28 cm. Por uma exigência do projeto, os perímetros das duas estruturas devem ser iguais. Considerando essa correspondência entre os lados, avalie também a relação de semelhança entre os triângulos.

Determine o valor de x e verifique se os triângulos ABC e DEF são semelhantes, justificando sua conclusão com base nas medidas dos lados.

• ✅ A) x = 7; os triângulos ABC e DEF são semelhantes e, como possuem lados correspondentes de mesma medida, são congruentes. — O perímetro de ABC é 2x + 3x + 4x = 9x. O perímetro de DEF é 14 + 21 + 28 = 63 cm. Como os perímetros são iguais, 9x = 63, portanto x = 7. Assim, os lados de ABC medem 14 cm, 21 cm e 28 cm, exatamente as mesmas medidas dos lados correspondentes de DEF. Logo, as razões entre os lados correspondentes são 1, 1 e 1: os triângulos são semelhantes e, mais especificamente, congruentes pelo caso LLL.
• ❌ B) x = 7; não é possível verificar a semelhança, pois seriam necessários os ângulos correspondentes. — A semelhança pode ser verificada apenas pelas medidas dos três lados correspondentes. Como os lados são iguais dois a dois, o caso LLL garante a congruência e, consequentemente, a semelhança, sem necessidade de calcular os ângulos.
• ❌ C) x = 6; os triângulos não são semelhantes, pois seus lados correspondentes têm medidas diferentes. — Esse resultado decorre de uma resolução incorreta da equação do perímetro, pois 9 vezes 6 é 54, e não 63. Com esse valor, os lados do primeiro triângulo não correspondem aos lados informados para o segundo.
• ❌ D) x = 7; os triângulos são semelhantes, mas não são congruentes, pois pertencem a estruturas diferentes. — A natureza ou a finalidade das estruturas não interfere na congruência. Para x = 7, os três lados correspondentes possuem exatamente as mesmas medidas, portanto os triângulos são congruentes pelo caso LLL.
• ❌ E) x = 9; os triângulos são semelhantes, com razão de semelhança igual a 9. — O perímetro de ABC não é obtido igualando x diretamente ao perímetro de DEF. A equação correta é 9x = 63, cuja solução é x = 7. Além disso, para x = 9, os lados de ABC seriam 18, 27 e 36, que não são proporcionais aos lados de DEF com uma única razão igual a 9.

Conceito central: semelhança de triângulos. Dica de resolução: calcule o valor de x e compare as razões dos lados. Conceito para revisão: propriedades de triângulos semelhantes e cálculo de proporções. Dificuldade média, nível de Bloom Aplicar.

Questão 5: razão de semelhança com lado em fração decimal

Duas retas paralelas são cortadas por transversais, formando dois triângulos semelhantes. No triângulo maior, um lado correspondente mede 15 m; no triângulo menor o lado correspondente mede 4,2¯ m (4,222...). Se o terceiro lado do triângulo maior mede 22 m, determine a razão de semelhança e o comprimento exato do terceiro lado do triângulo menor.

• ✅ A) Razão = 38/135; terceiro lado = 836/135 m — 4,2¯ = 38/9. Razão k = (38/9)/15 = 38/135. Terceiro lado menor = 22·k = 22·38/135 = 836/135 m.
• ❌ B) Razão = 38/90, lado = 12 m — A razão está errada e o lado não corresponde a uma relação válida entre os triângulos.
• ❌ C) Razão = 15/4, lado = 3 m — O lado correspondente está exagerado, não preserva a semelhança dos triângulos.
• ❌ D) Razão = 1/4, lado = 1,5 m — A razão está errada, não se adapta aos lados dos triângulos correspondentes.
• ❌ E) Razão = 22/4, lado = 5,4 m — A razão não reflete a proporção correta entre os triângulos semelhantes.

Conceito central: razão de semelhança. Dica de resolução: calcule a razão de semelhança e aplique-a ao terceiro lado. Conceito para revisão: propriedades de triângulos semelhantes e cálculo de razões. Esta questão é da BNCC EF09MA14, com dificuldade média e nível de Bloom Analisar.

Questão 6: um ângulo igual basta para semelhança?

Dois triângulos têm apenas um par de ângulos iguais, ambos medindo 50°.

— Com essa informação, é possível afirmar que os triângulos são semelhantes?

• ❌ A) Sim, porque triângulos com um ângulo igual sempre têm os demais ângulos proporcionais entre si. — O aluno confunde semelhança com proporcionalidade de medidas angulares. Em triângulos, ângulos não são proporcionais por esse critério; o que vale é igualdade de ângulos correspondentes.
• ❌ B) Não, porque para afirmar semelhança os três ângulos de cada triângulo precisam ser iguais. — O aluno troca o critério de semelhança pelo de congruência total. Não é necessário que os três ângulos sejam iguais; dois ângulos correspondentes iguais já bastam.
• ❌ C) Sim, porque um ângulo de 50° em cada triângulo indica que eles têm a mesma forma e o mesmo tamanho. — O aluno troca consequência por causa: um ângulo isolado não determina nem a mesma forma nem o mesmo tamanho. Isso não permite concluir semelhança.
• ❌ D) Sim, pois ter um ângulo de 50° em cada triângulo já é suficiente para concluir que eles são semelhantes. — O aluno generaliza indevidamente: confunde uma coincidência parcial com o critério de semelhança, que exige pelo menos dois ângulos correspondentes iguais ou outra condição equivalente.
• ✅ E) Não é possível afirmar que sejam semelhantes, pois um único ângulo igual não garante semelhança entre triângulos. — Resposta correta. O aluno reconhece que a semelhança exige mais informações, como dois ângulos iguais ou lados proporcionais com ângulos compatíveis.

Conceito central: critérios de semelhança. Dica de resolução: lembre do critério, com dois ângulos iguais ou lados proporcionais com ângulos compatíveis. Conceito para revisão: semelhança de triângulos. Dificuldade média, nível de Bloom Compreensão.

Como usar essa lista na sala de aula?

Minha sugestão é aplicar as questões em duas etapas. Primeiro, peça que os alunos resolvam sem consulta, marcando a alternativa e justificando em uma frase. Depois, abra a discussão dos distratores, porque é nela que os erros típicos aparecem e viram aprendizado. Quando faço isso, a média das turmas sobe bastante na prova seguinte, porque o aluno deixa de decorar o critério e passa a entender por que ele funciona.

• Discuta os distratores em grupo: cada grupo defende por que uma alternativa errada parece certa.
• Peça a justificativa escrita: não basta marcar a letra, é preciso citar o critério usado.
• Retome o erro na aula seguinte: reaproveite as mesmas questões em forma de revisão.

Vale a pena montar a lista pelo GeraProva?

Sim, principalmente quando o tempo está curto. O GeraProva gera provas e listas com IA a partir de habilidades da BNCC, já com gabarito e explicação dos distratores, o que me poupa horas de digitação e revisão. Você pode começar com o cadastro grátis e testar com a sua turma.

Este conteúdo foi pensado para apoiar o seu planejamento, mas a decisão pedagógica final é sempre sua. Se quiser experimentar a geração de provas e listas com gabarito comentado, faça um teste no GeraProva e veja se ele economiza o seu tempo como economizou o meu.