Exercícios de semelhança de triângulos com gabarito comentado

Quando eu trabalhava semelhança de triângulos, percebia uma cena recorrente: muitos estudantes acertavam a conta de proporção, mas não sabiam explicar por que aqueles lados podiam ser comparados. Outros decoravam AA, LAL e LLL, porém se perdiam assim que o desenho mudava de posição. Foi testando questões curtas, com distratores bem pensados, que consegui separar erro de cálculo de erro de conceito.

Hoje eu costumo alternar reconhecimento de critérios, leitura de figuras e problemas com medidas. Isso me dá evidências mais claras antes de partir para uma prova maior. A página inicial do GeraProva ajuda justamente nessa etapa: eu consigo organizar itens por habilidade, dificuldade e objetivo cognitivo sem gastar o intervalo inteiro procurando ou reescrevendo exercícios.

O que é semelhança de triângulos e quais critérios preciso ensinar?

Semelhança de triângulos é a relação entre dois triângulos que têm a mesma forma, embora possam ter tamanhos diferentes: seus ângulos correspondentes são iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. Para ensinar isso com segurança, eu apresento três critérios suficientes: AA, quando dois ângulos correspondentes são iguais; LAL, quando dois lados proporcionais formam ângulos compreendidos iguais; e LLL, quando os três pares de lados são proporcionais. Também deixo explícito que um único ângulo igual não basta e que diferenças iguais entre medidas não provam semelhança. Na BNCC, a habilidade EF09MA12 pede que o estudante reconheça condições necessárias e suficientes para a semelhança. Antes de cobrar incógnitas, eu verifico se a turma identifica correspondência entre vértices e distingue proporcionalidade de simples igualdade.

Um roteiro que funciona comigo

• Começo pelos ângulos: se dois pares correspondentes são iguais, o terceiro também será, pois a soma interna é 180°.
• Depois marco vértices correspondentes na mesma ordem, por exemplo, A↔D, B↔E e C↔F.
• Por fim, escrevo razões consistentes: AB/DE = BC/EF = AC/DF. Inverter todas as frações é possível; misturar as ordens, não.

Eu também comparo semelhança e congruência. Triângulos congruentes são um caso particular de semelhantes, com razão 1. Essa ideia resolve uma dúvida frequente quando as medidas correspondentes coincidem exatamente.

Como ensinar razão de semelhança sem virar uma sequência mecânica de regras?

Para ensinar razão de semelhança sem transformar a aula em repetição de regra, eu peço que os estudantes decidam primeiro qual triângulo está sendo comparado com qual. Se a razão é menor/maior, cada medida do triângulo menor deve ser dividida pela correspondente do maior; se é maior/menor, será o inverso. Em seguida, eles conferem o sentido do resultado: uma redução precisa produzir razão menor que 1, enquanto uma ampliação produz razão maior que 1. Só então aplicam a mesma razão a todos os lados correspondentes. Em problemas com dízimas periódicas, como 4,222..., eu incentivo a conversão para fração, pois ela preserva o valor exato e evita arredondamentos. No GeraProva, itens desse tipo vêm acompanhados de dica, conceito central e nível de Bloom, o que me permite intervir no ponto certo.

Passo a passo que eu peço no caderno

1. Identifique os lados correspondentes no desenho ou no enunciado.
2. Escreva uma razão com a ordem indicada.
3. Use a mesma razão para encontrar a medida desconhecida.
4. Faça uma verificação de grandeza: o lado da figura menor realmente ficou menor?

Essa última conferência é simples, mas evita respostas absurdas. Se um triângulo reduzido ganha um lado maior que o original, há inversão de razão ou associação errada de lados.

Como avaliar semelhança de triângulos na prática?

Eu avalio semelhança de triângulos em três camadas: reconhecimento do critério, justificativa da correspondência e aplicação da proporcionalidade. Em uma sondagem curta, uso de 6 a 8 questões: duas conceituais sobre AA, LAL e LLL, duas para identificar erros comuns e duas ou quatro com cálculo de razão e medida desconhecida. Assim, não confundo um estudante que entende o critério, mas erra uma divisão, com outro que simplesmente compara lados sem critério. Para o 9º ano, relaciono principalmente à EF09MA12 e, quando há paralelas cortadas por secantes e proporcionalidade, à EF09MA14. Eu gosto de pedir uma linha de justificativa mesmo em múltipla escolha. Com o GeraProva, consigo selecionar itens por dificuldade e Bloom, mantendo uma prova equilibrada e um gabarito que explica os distratores.

Erros que eu observo antes da prova

• Erro aditivo: comparar aumentos de centímetros em vez de razões.
• Inversão: calcular 5/3 quando a pergunta apresentou 3/5.
• Critério incompleto: concluir semelhança porque encontrou apenas um ângulo igual.
• Correspondência trocada: relacionar lados que não estão opostos aos mesmos ângulos.

Quando identifico o padrão, prefiro uma retomada de dez minutos com dois contraexemplos a uma longa lista de contas. A correção fica mais formativa e menos punitiva.

Questões prontas com gabarito comentado

As seis questões abaixo cobrem desde definições básicas de triângulos até a análise de critérios de semelhança e cálculo de razões exatas. Eu as usaria em sequência, não necessariamente todas na mesma prova: a questão 5 serve como retomada de vocabulário geométrico; as questões 3 e 4 diagnosticam se a turma reconhece condições suficientes; as questões 1 e 2 exigem aplicação algébrica; e a questão 6 pede uma leitura criteriosa de diferentes evidências. Cada item traz BNCC, nível de Bloom, dica e análise dos distratores, que são dados valiosos para a devolutiva. Em vez de apenas informar a letra correta, eu consigo dizer qual raciocínio provavelmente levou cada estudante ao erro. Esse tipo de gabarito comentado torna a correção uma continuação da aula e facilita a montagem de recuperações direcionadas.

1. Razão com dízima periódica

Enunciado: Duas retas paralelas são cortadas por transversais, formando dois triângulos semelhantes. No triângulo maior, um lado correspondente mede 15 m; no triângulo menor o lado correspondente mede 4,2¯ m (4,222...). Se o terceiro lado do triângulo maior mede 22 m, determine a razão de semelhança e o comprimento exato do terceiro lado do triângulo menor.

BNCC: EF09MA14 | Bloom: Analisar | Conceito central: razão de semelhança. Dica de resolução: Calcule a razão de semelhança e aplique-a ao terceiro lado. Conceito para revisão: propriedades de triângulos semelhantes e cálculo de razões.

• ✅ A) Razão = 38/135; terceiro lado = 836/135 m. Correta: 4,2¯ = 38/9; então k = (38/9)/15 = 38/135 e 22·k = 836/135 m.
• ❌ B) Razão = 38/90, lado = 12 m. Errada: a razão está incorreta e 12 m não segue uma relação válida entre os lados.
• ❌ C) Razão = 15/4, lado = 3 m. Errada: o lado correspondente fica exagerado e não preserva a semelhança.
• ❌ D) Razão = 1/4, lado = 1,5 m. Errada: a razão não se adapta aos lados correspondentes informados.
• ❌ E) Razão = 22/4, lado = 5,4 m. Errada: a razão usa medidas que não são um par correspondente.

2. Perímetro, semelhança e congruência

Enunciado: Em uma oficina de maquetes, ABC tem lados 2x cm, 3x cm e 4x cm; DEF tem lados correspondentes 14 cm, 21 cm e 28 cm. Os perímetros são iguais. Determine x e verifique se os triângulos são semelhantes.

BNCC: EF09MA12 | Bloom: Aplicar | Conceito central: semelhança de triângulos. Dica de resolução: Calcule x e compare as razões dos lados. Conceito para revisão: propriedades de semelhança e proporções.

• ✅ A) x = 7; são semelhantes e congruentes. Correta: 9x = 63, logo x = 7; os lados ficam 14, 21 e 28, iguais aos correspondentes de DEF.
• ❌ B) x = 7; não é possível verificar semelhança sem ângulos. Errada: o caso LLL garante congruência e, portanto, semelhança.
• ❌ C) x = 6; não são semelhantes. Errada: 9·6 = 54, não 63.
• ❌ D) x = 7; são semelhantes, mas não congruentes por serem estruturas diferentes. Errada: a finalidade das estruturas não altera as medidas nem a congruência.
• ❌ E) x = 9; razão 9. Errada: a equação correta é 9x = 63; com x = 9 os lados não têm a razão indicada.

3. Três lados proporcionais

Enunciado: Lara comparou os triângulos ABC e DEF e viu que AB/DE = BC/EF = AC/DF = 3/5. Os triângulos são semelhantes? Qual é a razão de semelhança?

BNCC: EF09MA12 | Bloom: Compreender | Conceito central: semelhança de triângulos. Dica de resolução: Verifique a relação de semelhança entre os triângulos. Conceito para revisão: propriedades de semelhança.

• ❌ A) Não, não são semelhantes; razão 3/5. Errada: três lados correspondentes proporcionais garantem semelhança.
• ❌ B) Sim, razão 5/3. Errada: inverte a ordem dada nas razões.
• ❌ C) Sim, razão 2/5. Errada: altera o numerador sem justificativa.
• ✅ D) Sim, são semelhantes; razão 3/5. Correta: vale o caso LLL, pois os três pares têm a mesma razão.
• ❌ E) Sim, razão 3/8. Errada: cria uma nova fração em vez de usar a razão comum.

4. Um ângulo igual basta?

Enunciado: Dois triângulos têm apenas um par de ângulos iguais, ambos medindo 50°. Com essa informação, é possível afirmar que os triângulos são semelhantes?

BNCC: EF09MA12 | Bloom: Compreensão | Conceito central: critérios de semelhança. Dica de resolução: Lembre do critério: dois ângulos iguais ou lados proporcionais com ângulos compatíveis. Conceito para revisão: semelhança de triângulos.

• ❌ A) Sim, porque um ângulo igual torna os demais proporcionais. Errada: esse não é um critério geométrico válido.
• ❌ B) Não, porque os três ângulos precisam ser iguais. Errada: dois ângulos correspondentes iguais já bastam.
• ❌ C) Sim, porque têm mesma forma e tamanho. Errada: um ângulo isolado não determina forma nem tamanho.
• ❌ D) Sim, pois 50° já é suficiente. Errada: falta ao menos outra condição de semelhança.
• ✅ E) Não é possível afirmar. Correta: um único ângulo igual não garante semelhança.

5. Definições fundamentais de triângulos

Enunciado: Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação correta sobre triângulos.

BNCC: EF06MA19 | Bloom: Analisar | Conceito central: definições de triângulos. Dica de resolução: Leia cada definição e compare com o conceito estudado. Conceito para revisão: isósceles, escaleno, retângulo e equilátero.

• ❌ A) Todo isósceles tem três lados iguais. Errada: o isósceles tem dois lados iguais.
• ❌ B) Todo escaleno possui dois lados iguais. Errada: o escaleno tem três lados diferentes.
• ✅ C) Todo triângulo retângulo possui um ângulo de 90°. Correta: essa é sua definição.
• ❌ D) Todo obtusângulo possui três ângulos maiores que 90°. Errada: apenas um ângulo pode ser obtuso.
• ❌ E) Todo equilátero possui um ângulo maior que 90°. Errada: seus três ângulos medem 60°.

6. Qual checagem é suficiente?

Enunciado: Um adesivo triangular PQR será ampliado para P'Q'R'. Foram feitas checagens: dois ângulos correspondentes iguais, dois lados proporcionais com ângulo não compreendido, três lados com uma razão divergente, apenas um ângulo igual e diferenças iguais de lados. Identifique a condição suficiente para concluir que os triângulos são semelhantes.

BNCC: EF09MA12 | Bloom: Aplicar | Conceito central: semelhança de triângulos. Dica de resolução: Analise ângulos e proporções. Conceito para revisão: critérios AA, LAL e LLL.

• ❌ A) Apenas um ângulo correspondente igual. Errada: muitos triângulos diferentes podem compartilhar esse ângulo.
• ❌ B) Três lados, com razão 28/38 diferente das demais. Errada: não há proporcionalidade entre os três pares.
• ✅ C) Dois ângulos correspondentes iguais, 48° e 67°. Correta: o critério AA determina a semelhança, com P↔P' e Q↔Q'.
• ❌ D) Diferenças de 10 cm e 15 cm. Errada: semelhança depende de razões, não de aumentos aditivos.
• ❌ E) Dois lados proporcionais e ângulo em Q. Errada: é caso SSA; o ângulo não é compreendido entre os lados comparados.

Se quiser transformar esses exemplos em uma lista, sondagem ou prova com o perfil da sua turma, faça um cadastro grátis no GeraProva. Eu recomendo testar com poucos itens primeiro, observar os erros mais frequentes e ajustar a próxima atividade a partir deles.